Volumes et conversions

Les volumes de quelques solides en carte

une carte pour s’entraîner et retenir les formules de calcul des volumes : 

Les conversions

1. Utiliser un tableau de conversion OU apprendre à faire ce tableau  ?

Cette année, nous faisons le choix d’essayer de construire et mémoriser la construction du tableau de conversion (m3 / Litres) .

  • POURQUOI ? pour « être comme tout le monde » , ne pas demander une aide supplémentaire (en 4ème) [tableau plastifié ou , pire ?, tableau de conversion sous Word (avec le ruban Studys) ] MAIS , je ne peux pas « évaluer » le « coût » de ce travail pour Léo (bien que j’imagine que ce sera « fluctuant » selon la fatigue du jour, selon le moment où ce travail sera demandé, et même s’il pensera à le faire parfois…..et pourtant tout est dans la BODYS ….]
  • un premier essai très (totalement même) satisfaisant : en image :
  • COMMENT S’Y PRENDRE pour contourner les « différents obstacles » et installer la mémorisation : encore une procédure…..

Tout d’abord un « ordre » de construction détaillé :

  •  je trace un trait horizontal
  • je place au centre l’unité : le, les 2 traits verticaux, et les 3 colonnes
  • puis ,plus petit que le m³ , c’est le dm³ que l’on place avec ses 3 colonnes et là, on installe tout de suite le L de litre (équivalence 1 dm³ = 1 L)
  • je continue avec le cm³ et le mm³ et leurs 3 colonnes
  • ensuite plus grand que le m³, c’est le dam³, hm³ et km³
  • enfin, on termine le tableau des Litres , 1 par colonne dL,cL,mL puis daL, hL, et kL et un trait horizontal
  • le tableau est prêt à accueillir les conversions

en image :

2. Effectuer des conversions

Pour Léo , ça c’est facile , installer ou déplacer la virgule , ajouter ou supprimer des zéros . Le seul rappel (qui n’a même pas été nécessaire ce jour-là) c’est de bien placer la virgule ,lorsqu’il y en a une au départ, au niveau de l’unité donnée, dans la colonne de droite …..( ex : placer 2,75 m³ dans le tableau ci-dessus)

Après, avec toutes ces colonnes, il peut y avoir une mauvaise « lecture » du nombre    (ex : 2,75 m³ convertis en mL qui donne 2 750 000 : Léo a dû repasser par un petit trait pour le lire correctement alors que son travail était juste du premier coup) [ C’est là que sa dyspraxie visuo-spatiale vient à nouveau faire parler d’elle ….. zoomer , dézoomer, plusieurs lignes pourtant sur feuille non quadrillée ….. ]

En conclusion (provisoire), on tente la construction du tableau ….même si j’ai félicité Léo pour sa construction, je ne suis pas certaine que cette solution soit la meilleure pour lui et les futurs exercices qui forcément seront plus compliqués … De plus , on aura « gaspillé » de l’énergie avant même de s' »entraîner » à faire des conversions … Aura-t-il encore assez d' »attention » après la construction de son tableau pour réfléchir à toutes les questions ? ….. Même si je lui fais confiance, je ne peux m’empêcher de penser qu’un tableau « prêt à convertir » reste un outil facilitateur dont le besoin est sans doute réel dans un contexte où beaucoup d’informations sont déjà à aller « chercher » dans un cerveau qui n’utilise pas toujours les voies les plus simples …..

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Cône de révolution : Comment mesurer l’angle au centre de la surface latérale ?

Après un travail de patrons et de constructions sur les cônes de révolution, il s’agit de trouver la mesure de l’angle au centre de la surface latérale quand on connaît le rayon de la base et celui de la surface latérale (portion de cercle) .

Une méthode en carte mentale (avec rappel du calcul du périmètre du cercle ) :

Nous avons ajouté cette fiche méthode dans la BODYS , onglet « mesurer » :

 

 

Probabilités : un peu de vocabulaire

Un peu de vocabulaire pour aborder les probabilités.

Remarque : dernière branche à compléter : ex de probabilités : chercher des exemples entre 0 et 1 ( 1/2 ou 0,5 ,  3/4 ou 0,75 ….)

Nous avons essayé :

  • d’utiliser la question « Combien de chances y a-t-il de ….(réaliser l’évènement ….)
  • de faire préciser « le nombre total de chances » et le « nombre de chances d’avoir l’évènement » . par exemple, lancer un dé ,évènement :  tomber sur le 2 . Il y a 6 faces (nombre total de chances est 6) et une chance de tomber sur le 2 ( nombre de chances d’avoir l’évènement : 1) ; La probabilité est donc de 1/6 .
  • de travailler avec des dés, un ensemble de lettres ou boules de couleurs , des sacs ou boîtes pour cacher …. pour matérialiser la situation
  • de faire trouver un évènement certain , un évènement impossible à partir d’une situation donnée, un évènement contraire
  • de calculer des probabilités
  • de dire si un nombre donné peut être une probabilité
  • d’inventer une situation et un évènement

 

La BODYS : ajouts dans l’onglet « Démontrer / Justifier » (en Maths)

2 ajouts dans cette partie importante de la démonstration en maths .

  1. Attention : Toutes les cartes et méthodes utilisées sont disponibles en entier dans les articles sur la droite des milieux (ici) et sur le théorème de Pythagore (ici et et encore ) , alors que dans les images ci-dessous elles n ‘apparaissent pas en entier
  2. Ci-dessous ce sont des « images » (donc souvent incomplètes pour pouvoir les mettre avec la capture d’écran) de la BODYS ESSAI

1- La droite des milieux : 3 démonstrations

page 1 : la droite des milieux et à quoi ça sert : 2 cartes mentales

 

pages 2 à 4 : démonstrations avec la droite des milieux et ses propriétés dans un triangle quelconque (avec méthode identique en 3 points : Je sais que / Or / Donc)

page 2 : démontrer qu’un point est le milieu d’un segment

page 3 : calculer la longueur d’un segment

page 4 : démontrer que 2 droites sont parallèles

2- Le théorème de Pythagore : 2 démonstrations, 1 vérification

page 1 : Le théorème de Pythagore en carte mentale

page 2 : Calculer la mesure d’un côté d’un triangle rectangle et fiche d’aide

page 3 : Vérifier les mesures des côtés d’un triangle rectangle

page 4 : Démontrer qu’un triangle est rectangle ou non (avec Pythagore et avec les angles)

Une BODYS toujours à l’essai ….. J’essaie de mettre au fur et à mesure des méthodes, fiches d’aide, des procédures qui nous sont utiles cette année en vue aussi de l’année prochaine . Même si Léo ne s’en sert pas en classe , on l’a au moins sous la main à la maison et lors des révisions …. Nous poursuivrons l’onglet « démontrer / justifier » au fur et à mesure des notions étudiées en classe .

Pythagore : une autre piste d’automatisation dans le calcul de la mesure d’un côté

Après les articles précédents sur Pythagore (ici et ) , voici une autre aide donnée en classe qui peut permettre la « flexibilité », la mémorisation ….. :

Dans le triangle ABC rectangle en B  , on a :

  

DONC pour calculer la mesure des côtés de ce triangle , on peut directement appliquer les « formules » . Néanmoins, pour Léo , il m’a semblé encore nécessaire d’avoir tout par écrit, d’entourer (ou surligner) ce que l’on cherche et d’utiliser le « geste » qui cache (ou enlève) un des termes …. [quand ce n’est pas la mesure de l’hypoténuse qui est cherchée, cas le plus simple)]. Le « carré » aussi qui parfois disparaît …… Il faut être en mesure d’expliquer ce que l’on fait pour pouvoir mémoriser une démarche et l’automatiser ….

Une autre piste : peut-être, pourrait-on passer par une étape intermédiaire de type  :

Document à télécharger sous Word  Utiliser Pythagore METHODE 

à ajouter dans nos fiches d’aide aux démonstrations en lien avec Pythagore ( voir les 2 1ères ici ) et dans la BODYS ( à venir dans un prochain article) …… On devrait en avoir besoin encore en 3ème au moins ….

Plus de clarté en image dans un exercice « guidé » mais où je demande à Léo d' »expliciter » sa démarche, de bien visualiser et faire des liens avec le »dessin , codage » du triangle rectangle , pour automatiser MAIS en réfléchissant ….. oralement au moins même si c’est plus long ….. Le travail ici est de « vérifier » les mesures des 3 côtés grâce à l’égalité de Pythagore :

Exercice fait  en image :

exercice d’entraînement à télécharger sous Word Vérifier les mesures de chaque côté EXO

Parallèlement, nous allons reprendre un exercice de chacune des démonstrations en utilisant le théorème de Pythagore  :

  • calcul d’une mesure d’un côté d’un triangle en connaissant les 2 autres
  • reconnaître si un triangle est rectangle

Il ne reste plus qu’à s’y mettre …… difficile pendant les vacances de Noël …..

 

Pythagore : un essai de démonstration de base

En travaillant à nouveau avec le théorème de Pythagore ( article précédent ici ), nous avons essayé de procéder de manière « simple et rigoureuse » .

Trouver la longueur d’un côté

J’ai préparé une « fiche guide » (procédure, aide …. comme on voudra) pour installer une démarche en 3 étapes (la dernière étant la phrase réponse) . En image :

à télécharger sous Word PYTHAGORE PROCEDURES2

Démontrer qu’un triangle est rectangle (ou non )

2ème fiche , en image

( le carré jaune est pour indiquer le signe , s’il y a égalité ou non)

ça coince encore ????

Là où ça coince (et ce n’est sûrement pas spécifique aux enfants DYS ! ) :

  1. Passer de BC² à BC  : revenir au carré avec la surface connue , quand on doit trouver la longueur du côté pour arriver à : BC =√BC² ( si je sais que BC² = 33 alors BC = √33  . On peut aussi reprendre que le carré de √33 c’est 33 ….. à entraîner ….. mais le mélange est vite là !!!! on peut reprendre les fiches ici)
  2. Quand la longueur cherchée se trouve du côté de la somme des 2 termes au carré : une difficulté à « gérer » ( à chacun de trouver « sa » méthode ex : trouver BC quand on sait que AB² = AC² + BC² et que l’on connaît AB et AC : addition à trou ou soustraction ?…..)

Il nous faudra encore un peu de temps pour « automatiser » tout cela ……. et/ou trouver sa « propre » voie

Premiers pas avec Pythagore

Pythagore ou Paul Pogba ? à vous de choisir ……

Nous abordons ce fameux théorème qui va sans doute nous poursuivre au moins jusqu’en 3ème donc il faut bien commencer par l’apprivoiser ….. Pour cela , 2 notions sont à bien « recentrer » : le triangle rectangle et d’autre part la relation entre un nombre et son carré (pour pouvoir ensuite trouver la longueur d’un côté en « prenant » la racine ….)

une vue d’ensemble …..

avec cette carte où l’on a essayé de revoir le « sujet » dans son ensemble pour ensuite venir « zoomer » les différents points :

  • explications : qui était Pythagore ? Ce qu’il a démontré ? Une image pour nous aider : le fameux « dab » de Paul Pogba ( trouvé sur internet, explication de ce choix par un professeur de Mathématiques à lire ici)
  • ce théorème s’applique toujours dans un triangle rectangle

zoom sur le triangle rectangle

  • comment le reconnaître « visuellement » ? : avec son angle droit
  • savoir repérer l’hypothénuse : c’est très important ! Je n’ai pas choisi d’ajouter une « image mentale » pour l’hypothénuse  car simplement l’observation a suffi (même si dans un premier temps elle se distingue en vert sur la carte) : Léo se sert de sa taille pour la repérer (c ‘est le plus grand côté) ou bien de sa place par rapport à l’angle droit . On a fait quelques exercices où on donnait la « lettre » de l’angle droit , ou bien l’expression de Pythagore et il fallait placer les lettres …. Bref, on a manipulé un peu …..
  • On a revu aussi la propriété des angles dans un triangle : leur somme vaut 180° ce qui a permis de voir si un triangle était rectangle ou non quand on connaît la mesure de 2 de ses angles ….
  • attention au vocabulaire à bien faire préciser : l’hypothénuse, un angle droit (et non pas rectangle ) , les côtés de l’angle droit
  • si nécessaire : reprendre la construction du triangle rectangle

Zoom sur le nombre , son carré et la racine carrée d’un autre

quelques points à reprendre et à « manipuler » dans sa tête pour obtenir la flexibilité nécessaire à son utilisation :

  • en partant du plus simple : 9² c’est 9X9 = 81 , DONC √81 c’est 9
  • en utilisant « la géométrie » : l’aire d’un carré (c X c ) est de 81cm² , son côté (c) c’est √81, donc c’est 9 cm
  • aide avec « image »
  • enfin toujours en géométrie , pour trouver la mesure d’un segment quand on connaît le carré de sa mesure : AB² = 81 donc AB = √81 = 9
  • Pour s’entraîner ( à plastifier) : on peut mettre soit des nombres , soit des lettres, soit des segments ….

zoom sur le théorème

  • savoir l’écrire en « phrase » : on attendra la « version exacte » qui sera donnée en classe
  • savoir l’écrire en « expression littérale » après avoir reconnu l’hypothénuse :

AB² = AC² + CB² (et inversement , pour arriver ensuite à manipuler à l’intérieur de l’égalité ….. on verra plus tard ….)

  • savoir à quoi sert ce théorème
  • un essai de fiche « procédure » pour soutenir la réflexion et l’ordre des « étapes » :

des outils à tester donc ……

à télécharger sous Word  Le théorème de Pythagore nombre et son carré entr Procédure pour appliquer un théorème ex Pythagore 2

 

 

Triangles et théorème(s) des milieux : propriétés et démonstrations

Les propriétés : aide à la mémorisation

Une carte mentale pour la vue d’ensemble

Des cartes « théorèmes » ( en allant à la ligne , disposition verticale qui aide beaucoup Léo )

  

Les propriétés : à quoi elles servent ?

Quand on lit l’énoncé , on voit ce que l’on doit trouver . On essaie alors de retrouver la propriété qui va nous aider : on peut s’aider de la carte mentale suivante :

et on peut avoir sous la main les cartes théorèmes (ci-dessus).

Les propriétés ici servent à démontrer ou à calculer :

  • propriété n°1 : pour démontrer qu’un point est le milieu du segment

Exemple : Comment s’y prendre pour démontrer qu’un point est le milieu du segment ?

On a essayé de travailler en 3 points :

  1. 1er point (très important) : d’abord on indique le triangle avec lequel on va « travailler » (on peut  surligner la figure,pensez aussi à faire coder toutes les informations données dans l’énoncé)
  2. on sélectionne la propriété que l’on va utiliser (on se la récite, on la « visionne » dans sa tête ….)
  3. 2ème point : On nomme la droite, les points ….. en suivant la « trame » de la propriété
  4. 3ème point : qui démarre avec DONC (ou ALORS) , on conclut et on vérifie qu’on a répondu à la question

Remarque très importante (à mes yeux)  : la perception de la figure étant souvent compliquée chez les enfants présentant une dyspraxie visuo-spatiale, pour 2 questions faisant appel à 2 triangles différents dans une même figure, il est souvent utile d’utiliser les couleurs et/ou (plutôt) de donner 2 figures …. C’est une difficulté dont on ne prend pas toujours la mesure et à laquelle je me heurte en ce moment ……

Ce qui peut donner :

  1. Dans le triangle ……
  2. La droite (….) passe par le milieu …. du côté …… et elle est parallèle au côté …….
  3. Donc elle coupe le 3ème côté …… en son milieu. Le point ….. est donc le milieu de […]
  • propriété n°2 : pour calculer la longueur d’un segment /
  • propriété n°3 : pour démontrer que 2 droites sont parallèles

On procède de même pour ces démonstrations :

  1. Dans le triangle ……

ici en images , 2 procédures :

  • une un peu plus « complexe » ou plus « mathématique » avec JE SAIS , OR, DONC    ( un peu plus d’écrit aussi)

  • une plus simple avec laquelle nous travaillons : en 3 étapes , avec 3 tirets

à télécharger sous Word demonstrations simplifiées en 3 points La droite des milieux APPRENDRE La droite des milieux ENTR AVEC PROPRIETES

Bon travail , pour nous c’est celui du week-end !

Carré d’un nombre et racine carrée d’un nombre

Une nouveauté cette année : la racine carrée ….

Quelques précisions sur le carré d’un nombre et la racine carrée d’un nombre

1-Le carré d’un nombre par exemple le carré de 3 s’écrit :

  • carré de 3
  • OU   3²
  • OU  3 X 3 = 9

2-La racine carrée d’un nombre par exemple la racine carrée de 9 s’écrit :

  • racine carrée de 9
  • √9
  • Elle est égale à 3 CAR 9 = 3 X 3

3- carrés à connaître par coeur

  • Les carrés des nombres de 0 à 10 : FACILES (quand on connaît ses tables de multiplication, aucun problème pour Léo), bien s’entraîner dans les deux sens en demandant l’explication ( ex le carré de 9 c’est 9X9 OU 9² donc 81 / la racine carrée de 81 c’est 9 car 81 c’est 9X9) , [Penser à bien faire dire toutes ces « équivalences » ]
  • Il reste à mémoriser les carrés de 11, 12, 13, 14 et 15 : un petit effort et ce doit être bon ( s’appuyer sur le 1 de 11, le 2 de 12 [2X2 = 4], le 3 de 13 ….)
  • et surtout les mémoriser immédiatement dans les « deux sens » carré et racine carrée
  • petite fiche qui peut aider ( à télécharger carrés a connaître )

Premières notions à retenir sur le carré ou la racine d’un nombre … en carte

  • la racine carrée de 0 , c’est 0
  • la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas
  • le carré d’un nombre est toujours positif

Remarque : un retour (ou plutôt une première explication) sur la règle des signes dans une multiplication nous a été nécessaire ainsi que de se méfier de la place des parenthèses (difficulté « graphique et / ou spatiale que Léo n’avait ni écrit au bon endroit , ni tenu compte d’ailleurs dans ses calculs) :

  • 3² = 9 ET (- 3)² = 9 ( on peut repasser par (-3) X (-3) pour bien voir les 2 signes négatifs)
  • mais 3² = 9
  • 3 X 2 = 6 mais  3 X 2 = 6 ….. Un peu d’entraînement et ça marche ….
  • TRAVAIL AUSSI avec la calculatrice : la touche √ et les parenthèses ( Léo n’avait pas assimilé la procédure … cette fois c’est fait ….)
  • quelques exercices d’entraînement ….EXO

Il n’y a plus qu’à s’y mettre ……

Un point sur les fractions : vocabulaire, emploi, problèmes …

Beaucoup d’exercices et problèmes sur les fractions et beaucoup de « choses » à savoir sur cette écriture fractionnaire ….. Un essai de mise au point : vocabulaire et méthode à partir d’une carte mentale qui servira de base et que l’on transformera en « livret » avec des exemples et méthodes ( à faire choisir et écrire à Léo).

Voici la carte de départ  (avec mes exemples pour savoir où l’on va mais je proposerai la carte à Léo sans les exemples):

2ème carte sans exemple , simplifiée pour avoir une vue d’ensemble des notions essentielles sur les fractions ( c’est finalement celle que j’utiliserai)

C’est celle qui sera collée sur un A3 et que nous complèterons ensemble .

Branche 1 : « des définitions et des choses à savoir », quelques « mises au point » sur l’écriture fractionnaire, la fraction décimale et le pourcentage

  • s’assurer du vocabulaire : numérateur (au-dessus) / nominateur (au-dessous) , écriture fractionnaire , fraction décimale, pourcentage
  • RAPPELS IMPORTANTS  :
  • un nombre peut s’écrire en écriture fractionnaire : exemple : 5 peut s’écrire 5/1
  • 1 c’est 1/1 ou 4/4 ou 25/25 ….. (dénominateur et numérateur égaux)
  • a/b c’est a : b (avec b non nul) bien utile ……

Branche 2 : égalité de 2 fractions

  • la règle est connue MAIS l’exemple semble être une aide à la mémorisation . Reprise du « Comment tu fais pour obtenir une fraction égale à la fraction donnée ? »
  • les produits en croix : déjà vus l’an dernier MAIS attention à ne pas les mettre « à toutes les sauces » ….. Rappeler à quoi ça sert, comment on utilise cette règle …..

Branche 3 : simplifier une fraction

  • règle connue mais reprise du vocabulaire exact ( simplifier, irréductible )
  • méthode utilisée : recherche du facteur commun que l’on peut « barrer »
  • penser à aller jusqu’au bout , jusqu’à la fraction irréductible ( que l’on ne peut plus réduire, simplifier)
  • penser à simplifier le résultat si le dénominateur est 1 (8/1 = 8)

Branche 4 : Les opérations sur les fractions

UN CONSEIL : je repère l’opération qui est à faire (je peux surligner le signe de l’opération)

  1. l’addition ou la soustraction : les fractions sont au même dénominateur : je peux faire mon opération OU BIEN  je mets D’ABORD les fractions au même dénominateur
  2. des précisions sur la mise au même dénominateur ( voir branche 6)
  3. la multiplication : pas de difficulté : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux

Branche 5 : Comparer 2 fractions (ou plus)

  • Cas n° 1 : elles ont le même dénominateur : pas de difficulté ( attention quand même si les fractions sont positives ou négatives : la règle des signes est à revoir (ou plutôt à voir car jamais notée dans les leçons …)
  • Cas n°2 : elles n’ont pas le même dénominateur :  je mets D’ABORD les fractions au même dénominateur

Branche 6 : mettre des fractions au même dénominateur

J’en ai besoin pour :

  1. comparer des fractions
  2. additionner ou soustraire des fractions
  • cas n°1 : je repère si les dénominateurs ont quelque chose en commun , c’est-à-dire si je peux passer de l’un à l’autre en multipliant par un même nombre (exemple en image)
  • cas n°2 : les dénominateurs n’ont rien en commun : je ne peux pas passer de l’un à l’autre (exemple en image : je trace un pont entre les 2 nombres)

Branche 7 : L’inverse d’un nombre (non nul) ou l’inverse d’une fraction

RAPPEL : un nombre non nul peut s’écrire sous la forme d’une fraction (ex : 4 s’écrit 4/1)

Un exemple sera bien plus parlant ….

Branche 8 : Calculer la fraction d’un nombre donné

RAPPEL : le petit mot « de » équivaut au signe « X » : 1/3 de 24 c’est 1/3 X 24

On ajoutera un exemple ….

Branche 9 : Les fractions dans les problèmes

  • Pour Léo, nous repassons par le schéma qui semble être actuellement la meilleure façon de comprendre le problème et d’être « actif » par rapport à l’énoncé. Nous allons préparer un (ou deux) problème(s) « résolu(s) » avec un schéma
  • Un autre rappel encore difficile à faire « accepter » : quand « on parle en fraction » d’un tout , le tout vaut 1 [on va essayer de passer par un tout  » la pizza » , qui me semble bien parlant ! ]

Quelques précisions en image : la fiche au complet (elle nous aidera pour revoir une ou plusieurs notions sur les fractions)

branches 1 et 2 :

branches 3 et 4 :

branches 5 à 7 :

branches 8 et 9 :

Au travail …….!!!